Sequenza di tipo binomiale
In matematica, una sequenza polinomiale, cioč una successione di polinomi indiciati da { 0, 1, 2, 3, ... } dove l'indice di ogni polinomio coincide con il suo grado, si dice sequenza polinomiale di tipo binomiale, o pił in breve sequenza di tipo binomiale, se soddisfa la successione di identitĆ
Si puĆ² dimostrare che una sequenza polinomiale { pn(x) :
n = 0, 1, 2, ... } č di tipo binomiale se e solo se la trasformazione lineare
dello spazio di polinomi in x che č definita dalla
Esempi
Una semplice caratterizzazione
č shift-equivariante e p0(x) = 1 per ogni x
e pn(0) = 0 per n > 0. (Dire che questo operatore č shift-equivariante equivale a dire che la sequenza polinomiale č una sequenza di Sheffer; l'insieme delle sequenze di tipo binomiale č propriamente incluso
nell'insieme delle sequenze di Sheffer.)
La precedente trasformazione lineare č chiaramente un operatore delta, cioč, una trasformazione lineare shift-equivariante sullo spazio dei polinomi in x
che riduce i gradi dei polinomi di 1. Il pił ovvio esempio di operatori delta sono gli operatori differenza e differenziazione. Si puĆ² dimostrare che ogni operatore delta puĆ² essere scritto come una serie di potenze della forma
Operatori delta
dove D č la differenziazione (si noti che il limite inferiore della somma č 1). Ogni operatore delta Q possiede un'unica sequenza di "polinomi di base", cioč, una sequenza polinomiale che soddisfa le richieste
Ć stato dimostrato nel 1973 da Rota, Kahaner e Odlyzko, che una sequenza polinomiale č di tipo binomiale se e solo se č la sequenza dei polinomi di base per qualche operatore delta. PerciĆ² la prima formula del corrente paragrafo fornisce una ricetta per generare tutte le sequenze polinomiali di tipo binomiale che si vogliono: si tratta di basta scegliere i cn.
L'insieme di tutte le sequenze polinomiali di tipo binomiale costituisce un gruppo
per l'operazione detta "composizione umbrale" di sequenze polinomiali che ora definiamo.
Supponiamo che { pn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } e { qn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } siano sequenze polinomiali, e che
Le sequenze polinomiali di tipo binomiale sono precisamente quelle le cui funzioni generatrici
sono serie formali di potenze (non necessariamente convergenti) della forma
la successione κn dei coefficienti di termini di primo grado in una
sequenza polinomiale di tipo binomiale puĆ² essere chiamata successione dei cumulanti della
sequenza polinomiale. Si puĆ² quindi dire che ogni sequenza polinomiale di tipo binomiale
č interamente determinata dai suoi cumulanti, in sintonia di quanto presentato nell'articolo intitolato cumulante. In questo modo abbiamo
Sia
Il concetto di sequenza polinomiale di tipo binomiale ha applicazioni in combinatorica,
probabilitĆ , statistica, e in una varietĆ di altri campi.
Bibliografia
Composizione umbrale di sequenza polinomiali
Per composizione umbrale p o q si definisce la sequenza polinomiale il cui nesimo termine č
Con l'operatore delta definito da una sequenza di potenze in D come sopra, la biiezione naturale fra gli operatori delta e sequenze polinomiali di tipo binomiale, definita sopra, č un isomorfismo di gruppo, nel quale l'operazione gruppale tra serie di potenze č (forse sorprendentemente) la composizione formale di serie formali di potenze.Caratterizzazione mediante funzioni generatrici
dove f(t) č una serie formale di potenze il cui termine costante č zero
e il cui termine di primo grado č non nullo. Questo si puĆ² dimostrare usando
la versione per le serie di potenze della formula di Faà di Bruno; cioč la
L'operatore delta della serie č f−1(D) e quindi
Cumulanti e momenti
e
Questi conviene siano chiamati "cumulanti formali" e "momenti formali", per distinguerli dai cumulanti e dai momenti di una distribuzione di probabilitĆ .
la funzione generatrice dei cumulanti (formalie). Allora
č l' operatore delta associato alla sequenza polinomiale, cioč, abbiamoApplicazioni
